Współczynnik Poissona – jak działa i dlaczego jest ważny w projektowaniu materiałów

Współczynnik Poissona to jedna z podstawowych wielkości opisujących zachowanie materiału pod obciążeniem. Mówi, jak bardzo materiał zwęża się lub rozszerza na boki, gdy działa na niego siła rozciągająca lub ściskająca. Dzięki niemu można lepiej zrozumieć, jak konstrukcje zachowują się w rzeczywistych warunkach – od stalowych belek po elastyczne uszczelki i elementy drukowane 3D.

Co to jest współczynnik Poissona?

Współczynnik Poissona, oznaczany grecką literą ν (czytaj: „ni”), określa, jak materiał reaguje poprzecznie na odkształcenie wzdłużne. Gdy rozciągasz pręt, staje się on cieńszy – właśnie tę zmianę opisuje ten współczynnik. Matematycznie jest to stosunek odkształcenia bocznego do podłużnego ze znakiem minus.

Jeśli wartość ν wynosi 0,3, oznacza to, że materiał zwęża się o 30% tego, o ile wydłuża się wzdłużnie. Dla większości znanych materiałów współczynnik Poissona jest dodatni i mieści się w granicach od 0 do 0,5.

Jakie wartości występują w praktyce?

Typowe wartości współczynnika Poissona różnią się w zależności od rodzaju materiału:

• metale – najczęściej 0,25–0,35,
  
• ceramika – około 0,15–0,25,
  
• tworzywa sztuczne – 0,30–0,45,
  
• gumy i elastomery – około 0,49 (praktycznie nieściśliwe),
  
• pianki i materiały porowate – mogą mieć wartości bliskie 0, a nawet ujemne.
  

Ujemne wartości są rzadkie i dotyczą tzw. materiałów auksetycznych, które zamiast zwężać się przy rozciąganiu – rozszerzają się poprzecznie. Takie materiały stosuje się np. w amortyzacji, ochronie uderzeniowej czy filtracji.

Zależność między współczynnikiem Poissona a innymi modułami sprężystości

Współczynnik Poissona jest ściśle powiązany z innymi parametrami sprężystości, takimi jak:

• moduł Younga (E) – określa sztywność materiału przy rozciąganiu,
  
• moduł Kirchhoffa (G) – opisuje odporność na odkształcenia postaciowe,
  
• moduł objętościowy (K) – pokazuje, jak materiał reaguje na zmianę objętości przy ściskaniu.
  

Zależności między tymi parametrami opisują proste wzory:
G = E / [2(1 + ν)] oraz K = E / [3(1 − 2ν)].
Dzięki nim można obliczyć brakujący moduł, jeśli zna się dwa pozostałe.

W praktyce te zależności wykorzystuje się w programach do analizy MES – od poprawnego dobrania wartości ν zależy dokładność wyników symulacji.

Jak zmierzyć współczynnik Poissona?

Najprostszy sposób to pomiar dwóch wielkości: wydłużenia próbki wzdłuż kierunku działania siły i jej zwężenia w poprzek. W laboratoriach stosuje się do tego ekstensometry (czujniki przemieszczeń) lub nowoczesne systemy cyfrowej korelacji obrazu (DIC), które śledzą zmiany kształtu powierzchni za pomocą kamer.

Ważne, aby pomiar wykonywać w środkowej części próbki, z dala od uchwytów. Trzeba też kontrolować temperaturę i prędkość obciążenia, bo oba czynniki wpływają na dokładność wyniku.

W przemyśle testy wykonuje się najczęściej przy okazji prób rozciągania, zapisując dane o wydłużeniu i sile. Na tej podstawie można szybko obliczyć ν i porównać z wartościami katalogowymi.

Jak dobrać współczynnik Poissona w symulacjach MES?

W analizie numerycznej warto stosować realistyczne wartości ν zgodne z materiałem:

• dla stali – 0,3,
  
• dla aluminium – 0,33,
  
• dla tworzyw – 0,35–0,4,
  
• dla gumy – 0,49.
  

Nie należy przyjmować dokładnie 0,5, ponieważ taki materiał byłby całkowicie nieściśliwy, co może powodować błędy obliczeniowe. Dla materiałów anizotropowych, takich jak kompozyty, współczynnik Poissona różni się w zależności od kierunku włókien i trzeba uwzględniać kilka wartości.

Warto też wykonać tzw. analizę wrażliwości – zmieniając ν o ±0,02 i sprawdzając, jak wpływa to na wyniki. Dzięki temu można ocenić, czy model jest stabilny i wiarygodny.

Przykład prostego obliczenia

Załóżmy, że próbka stali rozciągana w laboratorium wydłużyła się o 0,2% wzdłuż, a jej szerokość zmniejszyła się o 0,056%. Wtedy:
ν = −(−0,00056) / 0,0020 = 0,28.

To typowa wartość dla stali. Jeśli znasz moduł Younga E = 210 GPa, możesz z niej obliczyć moduł Kirchhoffa:
G = 210 / [2(1 + 0,28)] ≈ 82 GPa.

Dlaczego współczynnik Poissona jest tak ważny?

Bo wpływa na wszystko – od sztywności konstrukcji po dokładność symulacji. Źle dobrana wartość może spowodować, że model zachowa się zbyt „miękko” albo zbyt sztywno. Wiedza o ν pomaga więc nie tylko w obliczeniach, ale też w projektowaniu bezpiecznych i trwałych elementów.

Zrozumienie, czym jest współczynnik Poissona, to prosty krok do lepszego projektowania. Warto o nim pamiętać zawsze, gdy analizujesz odkształcenia, wykonujesz testy materiałowe lub przygotowujesz model MES.